Fizyka atomowa i jądrowa · Mechanika relatywistyczna

Związek energii i pędu

E^{2} = E_{0}^{2} + (p c)^{2}

2 zadania Brakuje danej?Policz z innych danych

Tego wzoru nie ma w podstawie programowej z 2024 r., więc od 2025 r. nie jest wymagany na maturze, choć nadal jest na karcie wzorów CKE. Przydaje się do zrozumienia tematu i w starszych zbiorach zadań.

poza podstawą programowąCKEna karcie wzorów

Kiedy można użyć wzoru

Mechanika relatywistyczna. Wzory obowiązują dla każdej prędkości mniejszej od prędkości światła. Gdy v jest dużo mniejsza od c, przechodzą we wzory klasyczne: p = mv i E_k = mv²/2.

Co oznaczają symbole

$E$ energia całkowita ciała[ $J$ ]
$E_{0}$ energia spoczynkowa ciała (E₀ = mc²)[ $J$ ]
$p$ pęd ciała[ $kg \cdot m/s$ ]
$c$ prędkość światła w próżni[ $m/s$ ]

Przekształcenia

$E = E_{0}^{2} + p^{2} c^{2}$ krok po kroku
1. Wzór wyjściowy $E^{2} = E_{0}^{2} + (p c)^{2}$
2. Wyciągamy pierwiastek kwadratowy z obu stron $E = E_{0}^{2} + p^{2} c^{2}$
$E_{0} = E^{2} - p^{2} c^{2}$ krok po kroku
1. Wzór wyjściowy $E^{2} = E_{0}^{2} + (p c)^{2}$
2. Zamieniamy strony $E_{0}^{2} + (p c)^{2} = E^{2}$
3. Odejmujemy $p^{2} c^{2}$ od obu stron $E_{0}^{2} = E^{2} - p^{2} c^{2}$
4. Wyciągamy pierwiastek kwadratowy z obu stron $E_{0} = E^{2} - p^{2} c^{2}$
$p = \frac{E ^{2} - E _{0}^{2}}{c}$ krok po kroku
1. Wzór wyjściowy $E^{2} = E_{0}^{2} + (p c)^{2}$
2. Zamieniamy strony $E_{0}^{2} + (p c)^{2} = E^{2}$
3. Odejmujemy $E_{0}^{2}$ od obu stron $p^{2} c^{2} = E^{2} - E_{0}^{2}$
4. Dzielimy obie strony przez $c^{2}$ $p^{2} = \frac{E ^{2} - E _{0}^{2}}{c ^{2}}$
5. Wyciągamy pierwiastek kwadratowy z obu stron $p = \frac{E ^{2} - E _{0}^{2}}{c}$

Reklamy

Sprawdzenie jednostek

Po podstawieniu jednostek SI obie strony wzoru muszą dać to samo.

$[J]^{2} = J^{2} = [\frac{kg \cdot m}{s}]^{2} \cdot [\frac{m}{s}]^{2} = J^{2} = \frac{kg ^{2} \cdot m ^{4}}{s ^{4}}$

Brakuje danej?

Jeśli w zadaniu nie ma którejś wielkości, policz ją najpierw z innego wzoru.

$p$ pęd ciała $p = \frac{m v}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}}$ ze wzoru pęd relatywistyczny
$E$ energia całkowita ciała $E = E_{k} + E_{0}$ ze wzoru energia kinetyczna (relatywistyczna) $E = \frac{m c ^{2}}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}}$ ze wzoru energia całkowita (relatywistyczna)
$E_{0}$ energia spoczynkowa ciała (E₀ = mc²) $E_{0} = E - E_{k}$ ze wzoru energia kinetyczna (relatywistyczna)

Zadania krok po kroku

Gdy w zadaniu brakuje którejś wielkości z tego wzoru, łączysz go z innym. Dotknij zadania, żeby zobaczyć kroki.

Jak obliczyć energię spoczynkową ciała, mając prędkość ciała i energię całkowitą ciała

E_{0} = \frac{E c ^{2} - v ^{2}}{c}

Dane: $v$ prędkość ciała $E$ energia całkowita ciała
Szukane: $E_{0}$ energia spoczynkowa ciała

ze wzoru energia całkowita (relatywistyczna)
$m = \frac{E}{c ^{3}} c^{2} - v^{2}$
ze wzoru pęd relatywistyczny
$p = \frac{m v}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}}$
ze wzoru związek energii i pędu
$E_{0} = E^{2} - p^{2} c^{2}$

Jednostki $[J] = J$

Jak obliczyć energię spoczynkową ciała, mając pęd ciała i prędkość ciała

E_{0} = \frac{p c c ^{2} - v ^{2}}{v}

Dane: $p$ pęd ciała $v$ prędkość ciała
Szukane: $E_{0}$ energia spoczynkowa ciała

ze wzoru pęd relatywistyczny
$m = \frac{p ^{2}}{v ^{2}} - \frac{p ^{2}}{c ^{2}}$
ze wzoru energia całkowita (relatywistyczna)
$E = \frac{m c ^{2}}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}}$
ze wzoru związek energii i pędu
$E_{0} = E^{2} - p^{2} c^{2}$

Jednostki $[J] = \frac{[ \frac{kg \cdot m}{s} ] \cdot [ \frac{m}{s} ] ^{2}}{[ \frac{m}{s} ]} = \frac{kg \cdot m ^{2}}{s ^{2}} = J$

Inne wzory: mechanika relatywistyczna

Masz inne dane? Sprawdź, jak to policzyć Wszystkie wzory działu Fizyka atomowa i jądrowa