Czynnik Lorentza

Co oznaczają symbole

• $\gamma$czynnik Lorentza (zawsze co najmniej 1)
• $v$prędkość[$m/s$]
• $c$prędkość światła w próżni[$m/s$]

Przekształcenia

• $$v=\sqrt{c^2-\frac{c^2}{{\gamma }^2}}$$krok po kroku

  1. Wzór wyjściowy
     $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
  2. Zamieniamy strony
     $\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\gamma$
  3. Odwracamy obie strony (bierzemy odwrotność)
     $\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{1}{\gamma }$
  4. Podnosimy obie strony do kwadratu
     $1-\frac{v^2}{c^2}=\frac{1}{{\gamma }^2}$
  5. Odejmujemy $1$ od obu stron
     $-\frac{v^2}{c^2}=\frac{1}{{\gamma }^2}-1$
  6. Mnożymy obie strony przez $-c^2$
     $v^2=c^2-\frac{c^2}{{\gamma }^2}$
  7. Wyciągamy pierwiastek kwadratowy z obu stron
     $v=\sqrt{c^2-\frac{c^2}{{\gamma }^2}}$

Sprawdzenie jednostek

Po podstawieniu jednostek SI obie strony wzoru muszą dać to samo.

Brakuje danej?

Jeśli w zadaniu nie ma którejś wielkości, policz ją najpierw z innego wzoru.

• $\gamma$czynnik Lorentza (zawsze co najmniej 1)$\gamma =\frac{\Delta t}{\Delta t_0}$ze wzoru dylatacja czasu$\gamma =\frac{l_0}{l}$ze wzoru skrócenie długości

Zadania krok po kroku

Gdy w zadaniu brakuje którejś wielkości z tego wzoru, łączysz go z innym. Dotknij zadania, żeby zobaczyć kroki.

• Jak obliczyć prędkość, mając czas zmierzony w układzie i czas własny$v=\frac{c\sqrt{\Delta t^2-\Delta t_0^2}}{\Delta t}$

  Dane

  $\Delta t$czas zmierzony w układzie$\Delta t_0$czas własny

  Szukane

  $v$prędkość

  1. ze wzoru dylatacja czasu

     $$\gamma =\frac{\Delta t}{\Delta t_0}$$

  2. ze wzoru czynnik Lorentza

     $$v=\sqrt{c^2-\frac{c^2}{{\gamma }^2}}$$

  Jednostki$\left[\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right]=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

• Jak obliczyć prędkość, mając długość ciała mierzona w układzie i długość własną$v=\frac{c\sqrt{l_0^2-l^2}}{l_0}$

  Dane

  $l$długość ciała mierzona w układzie$l_0$długość własna

  Szukane

  $v$prędkość

  1. ze wzoru skrócenie długości

     $$\gamma =\frac{l_0}{l}$$

  2. ze wzoru czynnik Lorentza

     $$v=\sqrt{c^2-\frac{c^2}{{\gamma }^2}}$$

  Jednostki$\left[\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right]=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Inne wzory: mechanika relatywistyczna

• dylatacja czasu$\Delta t=\gamma \Delta t_0$
• skrócenie długości$l=\frac{l_0}{\gamma }$
• pęd relatywistyczny$p=\frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
• energia całkowita (relatywistyczna)$E=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
• energia kinetyczna (relatywistyczna)$E_k=E-E_0$
• związek energii i pędu$E^2=E_0^2+{\left(pc\right)}^2$